Box Pleating - основы (часть 6): Сетка BP, опорные точки.

Координатная сетка (рис. 1) в технике box pleating представляет собой фундаментальный инструмент, без которого невозможно представить современный процесс переноса сложных складок паттернов на лист бумаги. Когда дизайнер создаёт модель методом BP, все элементы конструкции — горы и долины, пики и впадины — занимают строго определённые позиции на единой сетке, шаг которой заранее рассчитан в процессе проектирования. Эта сетка становится своеобразной системой координат, где каждая линия паттерна обретает физическое воплощение на бумаге, а каждая ячейка служит элементарной единицей измерения для всего будущего изделия. Практическая ценность такого подхода проявляется уже на этапе подготовки листа: вместо того чтобы пытаться на глаз определить положение сотен складок, оригамист сначала наносит чистую, ровную сетку, после чего перенос паттерна превращается в почти механическую операцию — достаточно лишь следовать координатам, указанным на спроектированной или скаченной схеме другого автора.

Сама по себе идея координатной сетки восходит к ранним работам в области компьютерного дизайна оригами, когда Роберт Лэнг и другие исследователи осознали необходимость унификации пространства складывания. В отличие от свободной формы, где каждая складка определяется относительно предыдущей, бокс плейтинг требует абсолютной точности взаимного расположения элементов, и именно сетка обеспечивает эту точность. При этом важно понимать, что единичный шаг сетки — величина относительная, зависящая от размера исходного квадрата и сложности модели. Для простых фигур достаточно сетки восемь на восемь (рис. 2) или шестнадцать на шестнадцать, тогда как для детализированных драконов или насекомых с множеством ног и крыльев дизайнеры часто используют сетки сорок восемь на сорок восемь, шестьдесят четыре на шестьдесят четыре или даже более крупные деления. Ключевой момент заключается в том, что все эти сетки строятся по единым геометрическим принципам, освоив которые, мастер получает возможность делить квадрат на любое необходимое число равных участков без применения линейки или других измерительных инструментов.

Наиболее естественным и распространённым случаем является построение сетки, основанной на степенях двойки — два в степени к, где к представляет собой натуральное число. Такие сетки обладают уникальным преимуществом: их можно получить последовательным пополам делением стороны квадрата, совмещая параллельные края и образуя всё более мелкие деления. Этот бинарный алгоритм прост интуитивно, не требует дополнительных построений внутри листа и обеспечивает высокую точность даже при большом числе делений.

Однако реальные задачи оригами редко укладываются в удобные степени двойки. Гораздо чаще дизайнер сталкивается с необходимостью построить сетку двадцать три на двадцать три, двадцать семь на двадцать семь или тридцать один на тридцать один — деления, которые уже нельзя получить простым последовательным складыванием пополам. Здесь на помощь приходят геометрические конструкции, разработанные такими мастерами как Сюдзо Фудзимото, Кадзуо Хага, Масамичи Нома и, конечно, Роберт Лэнг, чья обобщённая теорема о пересечении диагоналей легла в основу многих современных методик построения произвольных дробей.

Методы получения опорных точек

Обратите внимание на рисунок 4 - данный метод складывания рациональных долей был разработан японским математиком Сюдзо Фудзимото и независимо переоткрыт геометром из Бостона Джиннин Мозли. Алгоритм Фудзимото основан на изящном построении, позволяющем находить обратные величины к сложенным пропорциям. В отличии от пересечения диагоналей Р. Лэнг (Origami and Geometric Constructions)(рис.5) - метод к которому многие привыкли, благодаря простоте и наглядности (без дополнительных расчетов) - метод Фудзимото требует небольших тривиальных операций, в которых мы получаем требуемые пропорции не оперируя складками проведенными, через 2 точки.

Несмотря на то, что так очень легко манипулировать значением разбиения, в данном случае иногда бывает не очень удобно на листах большого формата. Потому что складка проходящая через 2 точки требует одновременного контроля над начальным и конечным следом опорных точек одновременно, которые к моменту создания линии могут находиться на внушительном расстоянии друг от друга. Но на небольших листах это довольно удобно и различные варианты, как например при создании сетки 3-3, 5-5 (рис. 6) и прочих, часто можно встретить в диаграммах. Как правило, одна из складок располагается строго на диагонали квадрата, но бывают и исключения.

Метод Фудзимото в данном случае обладает существенным преимуществом, где расстояние между опорными следами не превосходит стороны квадрата. Кроме того, контролировать совпадение двух точек намного проще, чем следить за всей плоскостью складки. Так к примеру сетка 3х3 через метод Фудзимото будет выглядеть так (рис. 7)

Среди прочих практических методов получения опорной точки для дальнейшего бинарного разделения наибольшую известность среди оригамистов получили - метод Хага и метод Номы. Они так же как правило оперируют следами от деления стороны на 2^k равных участков, оставленными на разных сторонах, но немного в другом контексте. Так например метод Нома (рис. 8).

В этом случае, нам так же не нужно делать складки, поставленные через две точки. Как и в методе Фудзимото опорные точки не будут располагаться далеко друг от друга, что делает сам процесс получения опорного следа тривиальным действием совмещения двух точек на смежных сторонах квадрата.

Что касается метода Хага, то он скорее является экзотическим в оригамных кругах, поскольку он гарантированно оставит, как минимум бесполезную складку, вдоль всей центральной области листа, внося неконтролируемые коррективы в текстурный образ будущей модели (рис. 9)

Данная конструкция была открыта Кадзуо Хагой и требует одной диагональной складки и может также производить все рациональные дроби. Эта конструкция обычно известна как «теорема Хаги».

Возвращаясь к методу пересечения диагоналей Роберта Лэнга (рис.5 **) - рассмотрим упрощенный алгоритм, который можно получить как одно из свойств его конструкции в обобщённой теореме. В случае, когда в качестве ориентиров будут выбираться не засечки на сторонах квадрата, а засечки на диагонали.

** Более полную информацию Вы можете получить в журналах «Tanteidan Magazine (55–56)» и «Origami and Geometric Constructions» , где он довольно подробно описал своё открытие, которым успешно пользуются мастера всего мира.

Так вот, если рассмотреть случай «y»=1 (рис.10) у нас появляется простой и наглядный способ получения произвольной сетки, практически без дополнительных расчетов.

Благодаря этому геометрическому свойству квадрата, разделить сторону листа на нужное число отрезков очень просто, используя следующий алгоритм:

• выбираем произвольное число «х»>«y» такое, что бы в сумме с «y» оно давало искомое число участков. Способ деления на «x» частей должен быть известен, желательно степень двойки (рис.3);
• делим сторону KB квадрата на «x» частей;
• на разделённой стороне отсчитываем «y» делений от точки B –получаем точку N;
• проводим прямую NL и получаем точку M (она разделяет диагональ на два отрезка AM и MB);
• так как отношение длин отрезков AM/MB равно отношению длин проекций на стороны квадрата, а разделение на «х» частей нам известно, строим сетку с искомым числом участков.

Рассмотрим этот алгоритм на примере сетки «23–23» (рис.11).

1. Выбираем «x» (степень двойки) > «y». Так как 23 = 16 + 7, то «x» = 16, «y» = 7;
2. Делим сторону квадрата на «х» = 16 частей;
3. Отступаем «у» = 7 делений с правого края;
4. Сгибаем NL – получаем точку М;
5. Относительно точки М строим сетку.

Конечно, этот алгоритм не всегда следует использовать буквально, особенно для сеток с большим числом делений. Для начала стоит разобраться с типом числа. Как правило, процесс получения сетки можно упростить. Например, для чисел типа «r2^k», где «r» и «k» – произвольные целые числа. В этом случае сначала делят сторону квадрата на малое «r» частей, а затем «k» раз пополам каждый из «r» участков.

Так же при построении сеток, иногда бывает удобно использовать ножницы, особенно для квадратов более 70-70 см. Это целесообразно в случаях, когда алгоритмы требуют выполнения большого количества этапов. Так, получив какие-нибудь простые разделения типа «2ⁿ» или «3х2ⁿ», можно просто обрезать края вдоль тех линий, которые окружают нужную сетку. На листе не будет следов лишних построений, и погрешность сетки будет минимальной. Например, чтобы построить сетку «27х27» по приведённому алгоритму, требуются дополнительные построения, как на рисунке 11. Однако если мы обрежем часть сетки «32х32» на расстоянии пяти единичных шагов от края, то сетка «27х27» получится без геометрии, а на самом листе не будет сгибов, образованных дополнительными построениями (рис.12).

Естественно, сам манёвр не всегда рационален, иногда теряется слишком много материала, но для таких сеток, как «31х31», «63х63» и прочее, он может быть вполне приемлем. Ведь дополнительные построения могут создать много проблем, когда отрезание полоски толщиной в одну клетку от сеток «32х32» и«64х64» – секундное дело.

Так или иначе все подобные конструкции служат всего одной цели - получить некую опорную точку, которая с использованием банального бинарного деления доведет эту самую пропорцию до нужного шага.

Поиск собственных алгоритмов

Давайте рассмотрим, к примеру, произвольно взятый набор ориентиров и относительно них проведём проверку жизнеспособности принципа поиска опорных точек для квадрата. Для эксперимента возьмём, к примеру, диагональ и произвольную точку, расположенную не на границе листа, как в большинстве аналогичных построений, а где-нибудь внутри (рис.13). Так, чтобы с одной стороны – не ставить на границе лишних засечек, только необходимые, а с другой – осуществить построение относительно удобного для работы параметра.

Аналогично можете рассмотреть вариант для двух смежных сторон (рис.13 – y₃), где x=0. В этом случае расчёт будет вестись не относительно абсцисс, а относительно ординат. То есть, сначала подставляем в уравнение y₃=b + (k-b)(0-a) / (k-a) = k(b-a)/(k-a), затем находим расстояние до края квадрата (1-у₃) и далее их отношение.

В «блуждающей» точке О (рис.13) надобности мало - слишком большая гибкость редко когда хороша для анализа и решения прикладных задач. Вполне могут потребоваться нетривиальные построения для поиска самой точки, и, как следствие, существенно снизится точность получения опорной линии. Куда удобнее использовать более основательные ориентиры, скажем, средние линии или диагонали. Их и поставить легко, и систематизировать процесс будет удобнее. Так что используем точку на второй диагонали (у=1-х) и рассмотрим сборку какой-нибудь простой прямоугольной сетки (рис.14 – сетка 10x10).

Небольшая смена ориентиров и мы получили вполне себе удобную и самобытную методику поиска опорных точек на квадрате. Не сказать, что она лучше или хуже других – главное, она работает и может быть использована в повседневной оригами-жизни.

Возможно, так же будет полезна для практического использования и следующая схема (рис.15). Она полностью соответствует этому же принципу получения сеток и позволяет уже как-то систематизировать результат, изменяя разделения диагонали.

Просто помните, что структура квадрата, да и любой другой фигуры, содержит бесчисленное множество ещё неисследованных алгоритмов. Смело выбирайте новые ориентиры, линии, узлы, пишите уравнения, определяющие складки, стройте графические сочетания, и вы непременно наткнетесь на один или несколько таких методов, которые будут просто незаменимы в какой-нибудь непростой ситуации!!!

Продолжение следует...