Crease Pattern - основы (часть 7): Мозаики и структура их СР

Мир оригами часто ассоциируют с фигурками животных или цветов, но есть и другая его грань — мозаики, гофрировки или гофры, которые после сборки превращают бумагу в живую геометрию. Тесселяции — это не просто узоры, а система, где каждая складка подчиняется строгому порядку, но при этом оставляет место для бесконечных вариаций. Они возникают, когда лист дробится на ячейки — треугольники, шестиугольники, ромбы,... — которые стыкуются без зазоров, как кусочки пазла. Эти ячейки могут быть одинаковыми или разными, самостоятельно или в составе прочих техник, но их объединяет одно: они работают как единое целое, словно хорошо отлаженный механизм. Что, конечно, несопоставимо более фиксировано в своей итоговой форме, нежели откидные створки обычных моделей или кинетические модели с гофрированной структурой.

Сразу скажу, что тема настолько всеобъемлющая, что описать это в рамках ознакомительной статьи практически невозможно, поэтому впоследствии будут и другие, строго тематические заметки, в которых мы рассмотрим детальные нюансы, касаемо как сборки, так и проектирования тесселяций.

Бумажная мозаика (тесселяции) – сравнительно молодая область древнего искусства, но в последнее время она становится всё более востребована среди оригамистов. Появление таких шедевров оригами, как «Рыба Koi» Роберта Лэнга, или «RuyZin 3.5» Сатоши Камийа, обязано именно использованию техники origami tessellation. В основном бумажная мозаика существует как отдельный жанр, но благодаря ей можно научиться покрывать модели и их отдельные части невероятными узорами, придавая поверхности поистине удивительный, эффектный и красочный вид (рис.1).

Как известно, классическая мозаика – это декоративно-прикладное искусство, произведения которого формируются посредством компоновки и закрепления на поверхности разноцветных кусочков стекла или керамики, а оригами – искусство складывания фигур из цельного листа бумаги без ножниц и клея. В общем, это абсолютно разные направления в искусстве – по технике работы, по материалам и прочее. Как же их можно совместить? Дело в том, что в бумажной мозаике роль разноцветных модулей выполняют так называемые ячейки, которые стыкуются на плоскости листа между собой так, чтобы образовался цельный каркас. Если же подсветить готовую мозаику с одной стороны, то с другой мы увидим некий разноцветный образ, узор, который получается из-за того, что разные участки поверхности покрывает разное число слоёв. Другими словами, трансформированная плоскость, полученная посредством оригами-манипуляций, пропуская свет, образует мозаичный орнамент, окрашенный многочисленными оттенками одного цвета. Складывание бумажных мозаик – очень увлекательное занятие, требующее особенной аккуратности при сборке основных элементов. Мозаики можно складывать практически из любого бумажного материала – от кальки и до картона. При этом сам жанр невероятно богат на различные комбинации всевозможных форм.

В последнее время очень популярными стали объёмные мозаики (рис.2, автор: Андрей Ермаков; модели: 1 - «Фараон», 2 - «Золотой глаз», 3 - «Шляпа»), в которых элементы плоского складывания используются совместно с трёхмерными преобразованиями плоскости. Так можно получить прекрасные объёмные формы, покрытые переплетёнными узорами. В качестве примера стоит отметить знаменитую коллекцию объёмных масок, выполненных американцем Жоэлем Купером, представившем всему миру красоту оригами, построенную на симбиозе скульптуры и математики. Глядя на его работы, понимаешь, что мир бумажных тесселяций безграничен, и научиться этому действительно стоит!

Типы мозаик

Мозаики условно можно разделить на два основных типа: одни выполняются при помощи единичных сеток, другие без них, на сайте Роберта Лэнга (такие как: opus 660, opus 651, opus 648 и т.д.) вы можете встретить несколько прекрасных вариантов. Однако, такие тесселяции часто существуют как самостоятельные произведения, а их совместное использование с другими методиками и вплетение их в структуру модели возможно, но часто неоправданно сложно. Итак, основной структурной единицей мозаик являются так называемые ячейки. Ячейки многократно повторяются при складывании и состоят из элемента или группы элементов, стыкуемых между собой (рис.3).

Ячейки бывают разные, но образуются они чаще всего при помощи четырёх стандартных элементов: треугольник, параллелограмм, трапеция и шестиугольник. Иногда мастера бумажной мозаики применяют и более сложные фигуры (пятиугольники, восьмиугольники, неправильные описанные фигуры и пр.), однако при этом, включить мозаику в структуру паттерна можно только расширением границ листа. В основном, на практике в бумажной мозаике применяют только прямоугольные (как в ВР) и треугольные (как в НР) единичные сетки (рис.4). Их используют для удобства нанесения линий складок и упрощения процесса сборки. Прямоугольная или треугольная — каждая задаёт свой порядок. На прямоугольной удобно работать с прямоугольными фигурами, на треугольной — с углами, кратными 60 градусам. Сетка — как основа, на которой строится узор. Но она не ограничивает, а скорее направляет.

При этом, для формирования самих ячеек используют всего два типа трансформации плоскости: наложение и вращение.

Наложения

Суть наложения слоев заключается в обыкновенном увеличении толщины слоя за счёт последовательных складок (рис. 5). Количество слоёв, их ширина и ориентация зависят от того, какие свойства участка мозаики нам требуются. В чистом виде наложение – не более, чем обычная складка-молния. Однако, так как преобразования в ячейках бывают разные, то и направления сгиба листа, а так же количество параллельных складок, тоже могут быть разными.

Наложения служат как бы «фундаментом», на котором впоследствии будут сформированы все ячейки и построена сама мозаика. Как правило, они представляют некий набор параллельных линий, по-разному ориентированных между собой. Эту взаимную ориентацию задаёт структура задуманного узора, и для его получения требуются определённые, индивидуальные линии складок. Мастерами, работающими в жанре origami tessellation, разработан целый набор всевозможных систем наложений, которые можно компоновать друг с другом. При этом следует заметить, что наложения, которые применяются для образования одних ячеек, могут совершенно не подходить для других. Поэтому при проектировании взаимную совместимость различных наложений нужно проверять отдельно в каждом конкретном случае. При расположении элементов мозаик, наложения, которые их образуют, иногда пересекаются. В этих случаях поступают по-разному. На прямоугольной сетке состыковать наложения можно так (рис. 6).

В треугольных мозаиках наложения образуются аналогично – совмещением параллельных слоёв, с той лишь разницей, что основных направлений складок, которые делаются с использованием линий единичной сетки, не два, а три. Благодаря этому, всевозможных манипуляций со слоями внутри ячеек много больше, чем в мозаиках на прямоугольных сетках. При сильном внешнем различии процесс получения ячеек в прямоугольных и треугольных мозаиках совершенно идентичен: выбираются основные направляющие линии, и после их складывания производится образование участка пересечения в соответствии с правилами Кавасаки. Как правило, это: 60-ти и 120-ти градусные пересечения (рис. 7).

Не считая того, что уже существует большой арсенал вариантов стыковок наложений на треугольной сетке, всегда остаётся обширное поле для Ваших экспериментов. Можно найти много других способов соединения элементов ячеек. Например, в случае (рис. 7.2), уголочек, обозначенный чёрной стрелкой, можно не заправлять внутрь, а достать наружу, не изменив при этом структуры входящих наложений.

Вращения

Складывая различные модели, Вы наверняка сталкивались с таким популярным элементом, как вращение. Например, вращение довольно часто используется при складывании цветов. Наиболее известной из подобного рода моделей является «Роза» японского мастера оригами Тошиказу Кавасаки. Лично я сомневаюсь, что есть оригамисты, которые ни разу не пробовали сложить этот, не побоюсь этого слова, «ШЕДЕВР!» мирового оригами. Великолепное сочетание простоты конструкции и невероятной реалистичности результата делают «Розу Кавасаки» любимой для многих оригамистов. Она стала неким эталоном красоты, с которым волей-неволей сравнивают каждую новую оригами-розу, или другой оригами-цветок. За свою историю «Роза Кавасаки» претерпела множество изменений, а её различных модификаций не счесть; для неё придумывают ножки с иголками, листики, и т.п. Но основным элементом, лежащим в основе структуры модели, остаётся вращение в центральной области квадрата. Роза Кавасаки – это самый яркий пример того, что вращение не принадлежит только бумажной мозаике, но именно в мозаиках нашло своё место как практически обязательный элемент. Вращение – такой способ стыковки наложений, при котором происходит поворот фигуры, образующейся на месте стыка, относительно её центра. Вращать можно практически любую выпуклую геометрическую фигуру. Благодаря данной манипуляции, легко можно осуществить стыковку нужного заранее выбранного набора пересекающихся наложений. В пределах используемых единичных сеток чаще вращают: треугольник, параллелограмм, трапецию и шестиугольник. При этом, на прямоугольной, вращают, в основном, параллелограмм (квадрат и прямоугольник), а на треугольной – все четыре. Рассмотрим вращение квадрата на ВР-сетке (рис. 8).

Как видно из рисунка 8, вершины квадрата расположены в узлах сетки таким образом, что в результате бокового смещения произошло одновременное наложение величины «а» (рис. 8.1) со всех сторон квадрата. Условно назовем эту величину ″шириной наложения″ для дальнейшего описания и в данном случае она равна двум шагам сетки.

Обратите внимание, что с тыльной стороны плоскости образовалась область в центре (рис. 8.4). Размер этой области можно легко менять, варьируя размер вращаемой фигуры. Узоры, содержащие подобные тыльные элементы выглядят так, словно модель сделана из нескольких переплетённых листов (этот нюанс очень важен для практического использования и без него, как правило, не обходится ни одна мозаика). Иногда при проектировании мозаик на выходе из вращения требуется получить наложения разной ширины. На прямоугольных сетках это можно сделать, вращая прямоугольник (рис. 9).

Аналогичным образом осуществляется вращение и на треугольных сетках (рис.10). Теперь, помимо вращения параллелограмма для стыковки наложений, можно вращать треугольник, шестиугольник и трапецию. При этом, изменяя размер вращаемой фигуры, с обратной стороны можно получить закрытую или в разной степени открытую «спину». Ниже приведены несколько паттернов, описывающих подобные вращения.

После складывания по верхним паттернам, показанным на рисунке 10, обратная сторона получится закрытой, а по нижним – открытой. Что касается складывания областей вращения, то оно производится однотипно для любых фигур. Например, на рисунке 11 показан процесс вращения ромба с закрытой и открытой «спиной» (верхние и нижние рисунки соответственно). Обратите внимание, что боковые смещения углов фигур при вращении равны единичному отрезку «а» на самой сетке.

Как и для прямоугольных сеток, боковые смещения могут быть различными, если появляется необходимость по-разному стыковать соседние элементы ячеек. Для этого требуется изменять форму фигуры вращения (рис. 12).

Следует заметить, что для плоских мозаик обязательно должны выполняться правила получения плоской складки, описанные в ранее в этой серии статей. Стыковку необходимо проектировать так, чтобы непрерывность и ориентация всех линий, соединяющих ячейки, не нарушалась. Несоблюдение этих правил возможно для объёмных мозаик (рис. 13) и в некоторых случаях «жизненно важно», но при получении плоских мозаик такое отступление недопустимо.

Так или иначе, разбивая паттерны на такие элементы, в результате сборки можно сложить большинство плоских СР (рис.14), даже если вы только решили попробовать свои силы в тесселяциях. Можете начать с чего-то попроще, шаг за шагом, от ячейки к ячейке, от вращения к вращению, и у вас все получится.

Тесселяции — это карта мироздания. В них есть и порядок кристаллов, и хаос звёздных скоплений. Они учат, что бесконечность — не абстракция, а итог серии ″маленьких шагов″. Когда вы складываете мозаику, вы не просто создаёте узор — вы ведёте диалог с материей. Бумага сопротивляется, пружинит, но в итоге подчиняется, открывая свою душу. Мозаики- это не только математическая сказка, в которой вы при определенном навыке создадите свой уникальный вариант мозаики Пенроуза, образа атомной модели квазикристаллов Дана Шехтмана, но и целая вселенная, в которой возможно все, вплоть до написания целых полотен, наполненных, дорогих вашему сердцу, сакральных смыслов (рис.15; автор - Андрей Ермаков: ″Икона Христа Спасителя″ (год сборки) и ″Распятие Христово″ (3 месяца сборки)).

Тесселяции учат терпению. Иногда на сборку одной ячейки уходит час: подогнать угол, выровнять слои, аккуратно разгладить морщинки. Это медитативный процесс, где важно не торопиться. Бумага не прощает спешки — кривой сгиб или надорванный край испортят всю композицию. Но когда работа закончена, возникает странное чувство: кажется, что узор существовал всегда, а вы просто помогли ему проявиться.

Первые модели могут быть примитивными: чередование «гор» и «долин» в шахматном порядке. Потом добавьте диагонали, поэкспериментируйте с разными углами. Если что-то пошло не так, не разглаживайте сгибы до конца — оставьте возможность переделать. Со временем пальцы запомнят движения, а глаза научатся видеть скрытую геометрию. Напишите свою личную историю о том, как порядок и хаос уживаются на одном листе, как строгие линии могут стать поэзией, а простая складка — мостом между математикой и тишиной.

Продолжение следует...